İŞLEM
A ve B iki küme olsun. A'nın kartezyen çarpımının bir alt kümesinden B'ye olan fonksiyonlaraikili işlem denir veya ikili operasyon denir.
Örneğin reel sayılarda toplama işlemi bir ikili işlemdir.
İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ
A bir küme,
ve
A'da birer işlem olsunlar.
KAPALILIK
Her a, b ∈ A için,
ise; '⊕ işlemi A'da kapalıdır' veya 'A kümesi ⊕ işlemine göre kapalıdır' denir. ⊕ işlemine A'dakapalı işlem adı verilir.
Örneğin; doğal sayılarda, toplama işlemi kapalıdır, fakat çıkarma işlemi kapalı değildir.
BİRLEŞME ÖZELLİĞİ
Her a, b, c ∈ A için,
eşitliği sağlanıyorsa ⊕ işleminin birleşme özelliği vardır.
Örneğin; tamsayılarda, toplama işleminin birleşme özelliği vardır, fakat çıkarma işlemininbirleşme özelliği yoktur.
DEĞİŞME ÖZELLİĞİ
Her a, b ∈ A için,
eşitliği sağlanıyorsa ⊕ işleminin değişme özelliği vardır.
Örneğin; reel sayılarda, toplama işleminin değişme özelliği vardır, fakat çıkarma işleminindeğişme özelliği yoktur.
DAĞILMA ÖZELLİĞİ
Her a, b, c ∈ A için,
ise ⊗ işleminin ⊕ işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır.
Eğer,
ise ⊗ işleminin ⊕ işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır.
⊗ işleminin ⊕ işlemi üzerinde hem soldan hem de sağdan dağılma özelliği varsa, ⊗ işleminin ⊕ işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
Örneğin; reel sayılarda, çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır, fakat toplama işleminin çarpma işlemi üzerinde dağılma özelliği yoktur; bölme işleminin toplama işlemi üzerinde, sağdan dağılma özelliği vardır, fakat soldan dağılma özelliği yoktur.
YUTAN ELEMAN
Her a ∈ A için,
olacak biçimde bir o ∈ A varsa, o'ya ⊗ işlemine göre A'nın yutan elemanı denir.
Örneğin; reel sayılarda, 0 sayısı, çarpma işlemine göre yutan elemandır.
BİRİM ELEMAN
Her a ∈ A için, a ⊗ işlemine göre yutan eleman olmamak şartıyla,
olacak biçimde bir e ∈ A varsa, e'ye A'da ⊗ işlemine göre birim eleman veya etkisiz elemandenir.
Örneğin; tamsayılarda, 1 sayısı, çarpma işlemine göre birim elemandır.
TERS ELEMAN
Her a ∈ A için, a ⊗ işlemine göre yutan eleman olmamak ve e ∈ A birim eleman olmak şartıyla,
olacak biçimde bir b ∈ A varsa, b'ye a'nın ⊗ işlemine göre ters elemanı veya tersi denir ve b = a-1 olarak yazılır.
Örneğin; reel sayılarda, 1/3 sayısı, 3 sayısının tersidir.
GRUP
A bir küme ve ⊕ bu küme üzerinde bir işlem olsun. Eğer ⊕ işlemi A kümesi üzerinde; kapalı,birleşme özelliğine sahip, birim elemana sahip ve yutan eleman dışında kümeye ait her eleman içinters elemana sahip ise; (A,⊕) yapısına grup denir.
Eğer ⊕ işlemi A üzerinde değişme özelliğine sahip ise, (A,⊕) grubuna değişmeli grup denir.
Örneğin; reel sayılar ve bu kümedeki toplama işlemi bir değişmeli gruptur.
MODÜLER ARİTMETİK
m bir sayma sayısı, a ve b birer tamsayı olmak üzere; m, a-b'yi kalansız bölüyorsa; a ve b, m modülüne göre denktirler. Bu denklik,
şeklinde ifade edilir.
MODÜLER ARİTMETİĞİN ÖZELLİKLERİ
m ve n birer sayma sayısı, x, y, a ve b birer tamsayı olsun.
ve
olmak üzere, aşağıdaki denklikler geçerlidir.
KALAN SINIFLARI
m herhangi bir sayma sayısı, a, b ve c herhangi birer tamsayı olmak üzere, ≡ bağıntısı;
1) yansıma özelliğine sahiptir:
2) simetri özelliğine sahiptir:
ise,
gerçeklenir,
3) geçişkenlik özelliğine sahiptir, yani:
ve,
ise,
gerçeklenir.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder