OLAY ÇEŞİTLERİ 10.SINIF KONU ANLATIM

1) BAĞIMSIZ OLAY # Bir olayın gerçekleşip gerçekleşmediği diğer bir olayın gerçekleşmesine bağlı değil ise yani bir olayın sonucu diğer olayın sonucunu etkilemiyorsa böyle olaylara bağımsız olaylar denir. ÖRNEK: Bir madeni para ile bir zar birlikte havaya atılıyor. Zarın üst yüzüne çift sayı gelmesi ve paranın da tura gelmesi olayını inceleyelim. Zarın üst yüzünde çift sayı gelmesi paranın tura gelmesini etkilemez. Benzer şekilde paranın tura gelmesi de zarın çift gelmesini etkilemez.

Bu yüzden bu iki olay bağımsız olaylardır. ÖRNEK: Bir torbada 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 tane eş kart vardır. Çekilen kart geriye atılmak şartıyla rastgele seçilen iki karttan ilkinin 5, ikincisinin 6 olması olayını inceleyelim. Torbadan çekilen kart geri atıldığı için ilk çekilen kart ikinci çekilecek kartı etkilemeyecektir. Torba içinde herhangi bir değişiklik olmayacaktır. Bu yüzden bu iki olay bağımsız olaylardır.



2) BAĞIMLI OLAY # Bir olayın gerçekleşip gerçekleşmediği diğer bir olayın gerçekleşmesine bağlı ise yani bir olayın sonucu diğer olayın sonucunu etkiliyorsa böyle olaylara bağımlı olaylar denir. ÖRNEK: Bir sınıftaki öğrencilerin isimleri kartlara yazılıp torbaya atılıyor. Çekilen kartı torbaya geri atmamak şartıyla art arda çekilen iki karttan ilki sınıf başkanı, ikincisi sınıf yardımcısı olacaktır. Başkan seçilen kişi yardımcı olamayacağı için, yani seçilen kartı tekrar seçemeyeceğimiz için (torbaya geri atılmıyor) bu iki olay bağımlı olaylardır.

Pascal Özdeşliği ve Pascal Üçgeni 10:SINIF KONU ANLATIM

KOMBİNASYON 10.SINIF KONU ANLATIMI (test)

Permütasyon 10.SINIF KONU ANLATIM

PERMÜTASYON

A. SAYMANIN TEMEL KURALI

1. Toplama Kuralı

Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir.

Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.

olmak üzere,

Sonuç

Ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

2. Çarpma Kuralı

2 tane elemandan oluşan (a₁, a₂) ifadesine sıralı ikili denir. Benzer biçimde

(a₁, a₂, a₃) ifadesine sıralı üçlü

(a₁, a₂, a₃, a₄) ifadesine sıralı dörtlü

. . .

(a₁, a₂, a₃, … , a_n) ifadesine sıralı n li denir.

A ve B sonlu iki küme olsun

s(A) = m

s(B) = n

olmak üzere,

s(A × B) = s(A) × s(B) = m × n dir.A × B kümesi birinci bileşenleri A dan ikinci bileşenleri B den alınan sıralı ikililerden oluşur.

Sonuç

İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m × n yolla yapılabilir.

B. FAKTÖRİYEL

1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.

Sonuç

C. PERMÜTASYON (SIRALAMA)

r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.

n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı :

Sonuç

1. P(n, n) = n! 2. P(n, 1) = n

1. Dairesel (Dönel) Permütasyon

n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir.

Elemanlardan biri sabit tutularak n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n – 1)! ile bulunur.

2. Tekrarlı Permütasyon

n tane nesnenin n₁ tanesi 1. çeşitten, n₂ tanesi 2. çeşitten, … , n_r tanesi de r. çeşitten olsun.

n = n₁ + n₂ + … + n_r olmak üzere bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,

Nesnelerin Dizilişleri 10.SINIF KONU ANLATIM

Toplama ve Çarpma Prensipleri . 10.SINIF KONU ANLATIM

Sıralama ve Seçme 10.SINIF KONU ANLATIM

[OLASILIK] 10.SINIF KONU ANLATIM

PROBLEMLER 9.SINIF KONU ANLATIM

MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME       Verilen problemin x, y, a, b, c gibi sembollerle ifade edilmesine matematik diline çevirme denir. Herhangi bir sayı x olsun.Bu sayının a fazlası : x + a  dır.Bu sayının a fazlasının yarısı :  dir. Bu sayının yarısının a fazlası :  dır. Bu sayının küpünün a eksiği  :  x3 – a dır. Herhangi iki sayı x ve y olsun.× (x + y) dir. KESİR PROBLEMLERİ a, b ΠZ ve b ¹0 için ye kesir denir. Herhangi bir sayı x olsun. YAŞ PROBLEMLERİBir kişinin yaşı x ise,  T yıl önceki yaşı : x – TT yıl sonraki yaşı : x + T olur. Kişiler arasındaki yaş farkı her zaman aynıdır. İki kişinin yaşları oranı yıllara göre orantılı değildir. İki kişinin yaşları toplamı T yıl sonra 2 × T artar. n kişinin yaşları toplamı T yıl sonra n × T artar. İŞÇİ – HAVUZ PROBLEMLERİBir işi; A işçisi tek başına a saatte, B işçisi tek başına b saatte, C işçisi tek başına c saatte yapabiliyorsa; A işçisi 1 saatte işin  sını bitirir. A ile B birlikte t saatte işin  sini bitirir. A, B, C birlikte t saatte işin  sini bitirir. Eğer üçü t saatte işi bitirmiş ise bu ifade 1 e eşittir. A işçisi x saat, B işçisi y saat C işçisi z saat çalışarak işi bitiriyorsa,  dir. Havuz problemleri işçi problemleri gibi çözülür. A musluğu havuzun tamamını a saatte doldurabiliyor.Tabanda bulunan B musluğu dolu havuzun tamamını tek başına b saatte boşaltabiliyor olsun. Bu iki musluk birlikte bu havuzun t saatte sini doldurur. A musluğu havuzun tamamını a saatte doldurabiliyor. Tabanda bulunan B musluğu dolu havuzun tamamını tek başına b saatte boşaltabiliyor ise, bu iki musluk aynı anda açıldığında bu havuzun dolması için b > a olmalıdır. HAREKET PROBLEMLERİv : Hareketlinin hızı x : Hareketlinin v hızıyla t sürede aldığı yol t : Hareketlinin v hızıyla x yolunu alma süresi ise, Aralarında x km olan iki araç saatte v1 km ve v2 km hızla aynı anda birbirine doğru hareket ederlerse karşılaşma süresi  olur. İki araç saatte v1 km ve v2 km hızla aynı anda çembersel bir pistin, aynı noktasından zıt yönde aynı anda hareket ederlerse karşılaşma süresi, Aralarında x km olan iki araç saatte v1 km ve v2 km hızla aynı anda aynı yönde hareket ederlerse arkadaki aracın (v1 hızlı araç) öndekini yakalama süresi dir. İki araç saatte v1 km ve v2 km hızla aynı anda çembersel bir pistin, aynı noktasından aynı yönde hareket ederse hızı büyük olan aracın hızı küçük olan aracı yakalama süresi, Eşit zamanda v1 ve v2 hızlarıyla alınan yolda hareketlinin ortalama hızı,  dir. Belirli bir yolu v1 hızıyla gidip v2 hızıyla dönen bir aracın ortalama hızı,  dir. YÜZDE PROBLEMLERİA sayısının % a sı:  olur. A nın % a sı ile B nin % b sinin toplamı: A ya A nın % a sı eklenirse: A dan A nın % a sı çıkarılırsa: FAİZ PROBLEMLERİ F : Faiz miktarı A : Anapara (Kapital) n : Yıllık faiz oranı t : Kapitalin faizde kalma süresi olmak üzere, Faize yatırılan para her yıl getirdiği faiz ile birlikte tekrar faize yatırılırsa elde edilen toplam faizebileşik faizdenir.Buna göre, A lira yıllık bileşik faiz oranı % n olan bir bankaya yatırılıyor. t yıl sonra KARIŞIM PROBLEMLERİ      A kabında, tuz oranı % A olan x litrelik tuzlu su çözeltisi ile B kabında tuz oranı % B olan y litrelik tuzlu su çözeltisi, boş olan C kabında karış-tırılırsa oluşan x + y litrelik karışımın tuz oranı Tuz oranı % A olan tuzlu su çözeltisinin su oranı % (100 – A) dır. Bu iki sayının toplamının a katı : a Bu iki sayının kareleri toplamı : x2 + y2 dir. Bu iki sayının toplamının karesi : (x + y)2 dir. Ardışık tam sayılardan en küçüğü x olsun.Ardışık üç tam sayının toplamı :x + (x + 1) + (x + 2) dir. Ardışık üç çift sayının toplamı : x + (x + 2) + (x + 4) tür. (x, çift sayı) Ardışık üç tek sayının toplamı : x + (x + 2) + (x + 4) tür. (x, tek sayı)                                                                    ÇÖZÜMLÜ SORULAR Örnek 1 Ahmet parasının  ini harcadığında geriye 80 000 lirası kalıyor. Ahmet’in başlangıçta kaç lirası vardı? A) 120 000      B) 150 000    C) 180 000     D) 200 000 Çözüm l. yol : Parasının  ini harcadığına göre, parasının tamamı  ll. yol : 2 birim = 80 000 ise, 80 000 : 2 = 40 000 (1 birim) Tamamı = 40 000 x 5 = 200 000 liradır. lll. yol : Parasının tamamı x lira olsun: Cevap D Örnek 2 İbrahim  parasının unu Şerife’ye verdiğinde; Şerife’nin parası, kendi parasının  i oranında artıyor. Buna göre, İbrahim’in parasının Şerife’nin parasına oranı kaçtır? A) 3      B)4              C) 8             D) 12 Çözüm İbrahim’in parası : x TL Şerife’nin parası : y TL olsun. Verilenlere göre, Cevap D Örnek 3 Bir sayının  i ile inin toplamı aynı sayının  i ile inin toplamından 13 fazladır. Buna göre, bu sayı kaçtır? A) 35          B) 50             C) 60            D) 70 Çözüm İstenen sayı x olsun. Verilenlere göre, Cevap C                     ÇIKMIŞ SORU VE ÇÖZÜMLERİ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 13. 14. 15.                                      ÇÖZÜMLERİ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.