İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK 9.SINIF KONU ANLATIM

İŞLEM

A ve B iki küme olsun. A'nın kartezyen çarpımının bir alt kümesinden B'ye olan fonksiyonlaraikili işlem denir veya ikili operasyon denir.

Örneğin reel sayılarda toplama işlemi bir ikili işlemdir.

İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ

A bir küme,

ve

A'da birer işlem olsunlar.

KAPALILIK

Her a, b ∈ A için,

ise; '⊕ işlemi A'da kapalıdır' veya 'A kümesi ⊕ işlemine göre kapalıdır' denir. ⊕ işlemine A'dakapalı işlem adı verilir.

Örneğin; doğal sayılarda, toplama işlemi kapalıdır, fakat çıkarma işlemi kapalı değildir.

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Her a, b, c ∈ A için,

eşitliği sağlanıyorsa ⊕ işleminin birleşme özelliği vardır.

Örneğin; tamsayılarda, toplama işleminin birleşme özelliği vardır, fakat çıkarma işlemininbirleşme özelliği yoktur.

DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Her a, b ∈ A için,

eşitliği sağlanıyorsa ⊕ işleminin değişme özelliği vardır.

Örneğin; reel sayılarda, toplama işleminin değişme özelliği vardır, fakat çıkarma işleminindeğişme özelliği yoktur.

DAĞILMA ÖZELLİĞİ

Her a, b, c ∈ A için,

ise ⊗ işleminin ⊕ işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır.

Eğer,

ise ⊗ işleminin ⊕ işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır.

⊗ işleminin ⊕ işlemi üzerinde hem soldan hem de sağdan dağılma özelliği varsa, ⊗ işleminin ⊕ işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

Örneğin; reel sayılarda, çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır, fakat toplama işleminin çarpma işlemi üzerinde dağılma özelliği yoktur; bölme işleminin toplama işlemi üzerinde, sağdan dağılma özelliği vardır, fakat soldan dağılma özelliği yoktur.

YUTAN ELEMAN

Her a ∈ A için,

olacak biçimde bir o ∈ A varsa, o'ya ⊗ işlemine göre A'nın yutan elemanı denir.

Örneğin; reel sayılarda, 0 sayısı, çarpma işlemine göre yutan elemandır.

BİRİM ELEMAN

Her a ∈ A için, a ⊗ işlemine göre yutan eleman olmamak şartıyla,

olacak biçimde bir e ∈ A varsa, e'ye A'da ⊗ işlemine göre birim eleman veya etkisiz elemandenir.

Örneğin; tamsayılarda, 1 sayısı, çarpma işlemine göre birim elemandır.

TERS ELEMAN

Her a ∈ A için, a ⊗ işlemine göre yutan eleman olmamak ve e ∈ A birim eleman olmak şartıyla,

olacak biçimde bir b ∈ A varsa, b'ye a'nın ⊗ işlemine göre ters elemanı veya tersi denir ve b = a^-1 olarak yazılır.

Örneğin; reel sayılarda, 1/3 sayısı, 3 sayısının tersidir.

GRUP

A bir küme ve ⊕ bu küme üzerinde bir işlem olsun. Eğer ⊕ işlemi A kümesi üzerinde; kapalı,birleşme özelliğine sahip, birim elemana sahip ve yutan eleman dışında kümeye ait her eleman içinters elemana sahip ise; (A,⊕) yapısına grup denir.

Eğer ⊕ işlemi A üzerinde değişme özelliğine sahip ise, (A,⊕) grubuna değişmeli grup denir.

Örneğin; reel sayılar ve bu kümedeki toplama işlemi bir değişmeli gruptur.

MODÜLER ARİTMETİK

m bir sayma sayısı, a ve b birer tamsayı olmak üzere; m, a-b'yi kalansız bölüyorsa; a ve b, m modülüne göre denktirler. Bu denklik,

şeklinde ifade edilir.

MODÜLER ARİTMETİĞİN ÖZELLİKLERİ

m ve n birer sayma sayısı, x, y, a ve b birer tamsayı olsun.

ve

olmak üzere, aşağıdaki denklikler geçerlidir.

KALAN SINIFLARI

m herhangi bir sayma sayısı, a, b ve c herhangi birer tamsayı olmak üzere, ≡ bağıntısı;

1) yansıma özelliğine sahiptir:

2) simetri özelliğine sahiptir:

ise,

gerçeklenir,

3) geçişkenlik özelliğine sahiptir, yani:

ve,

ise,

gerçeklenir.